Gde Je Nestao Kvadrat? [13.10.2013]

Нобелова награда за физику 2022. године

Аутор: проф. др Мирољуб Дугић(Институт за физику, Природно-математички факултет, Универзитет у Крагујевцу)Нобелову награду за физику за 2022. годину поделила су тројица експерименталних физичара за област заснивања квантне механике, Ален Аспе ...

Gde je nestao kvadrat?

Credits: autor nepoznat

Za danas jedna optička iluzija. Promena rasporeda elemenata u “slagalici” sa slike i jedan kvadtaic se misteriozno pojavljuje i nestaje. Šta mislite kako?

Odgovor (14.10.2013): Ovu optičku iluziju smislio je 1953. godine mađioničar amater Paul Curry iz Njujorka. Iako, na prvi pogled deluje da je problem u matematici u ovom trouglu nema matematičkih trikova već do izračaja dolazi samo nesavršenstvo ljudskog oka. Pogledajte ponovo kako ovaj “kvadratić” nestaje, ali ovog puta u animaciji:

Koliko god dugo da posmatramo ove dve slagalice i animaciju izgleda nam da se na obe slagalice nalazi veliki, obojeni, trougao sastavljen od različitih elemanat iz “tetrisa”. Premeštanjem elemanata nastaje nov trougao iz koga je nestao jedan obojeni kvadratić!?!? Suština ove optičke iluzije je u hipotenuzi oba velika “trougla”. Pogledajte bolje hipotenuzu, verovatno niste primetili da ona nije prava ni na prvom niti na drugom “trouglu”, tj. njen nagib se menja kad se prelazi sa crvenog na zeleni trougao. Ovaj “prelom” hipotenuze dovoljan je da napravi razliku u površini od tačno jednog kvadratića.

Ovo možemo da proverimo i preko čuvene Pitagorine teoreme. Hipotenuza velikog trougla dimenzija 13 x 5 iznosa:

$C^2 = 13^2 + 5^2 \Rightarrow C = 13.92839$

Hipotenuze crvenog i zelenog trougla su:

$c_1^2 = 8^2 + 3^2 \Rightarrow c_1 = 8.54400$

$c_2^2 = 5^2 + 2^2 \Rightarrow c_2 = 5.38516$

suma ove dve hipotenuze iznosi $c_1 + c_2 = 13.92916$ , što je veće od prave hipotenuze trougla. Ova razlika je mala ali dovoljna da hipotenuza nije prava već izlomljena linija. Ugao skretanja hipotenuze može da se odredi na lak način, primenom jednostavne trigonometrijske relacije

$\tan \alpha = \frac{a}{b}$

gde je $\alpha$ traženi ugao a $a$ i $b$ su odgovarajuće katete. Primenom ove formule dobijamo da je ugao crvenog trougla

$\alpha_{crveni} = \arctan \frac{3}{8} = 20.5560^o$

a ugao zelenog trougla je

$\alpha_{zeleni} = \arctan \frac{2}{5} = 21.8014^o$

razlika između ova dva ugla iznosi $\Delta \alpha = 1.2454^o$ . Ovaj ugao određuje koliko je “hipotenuza” izlomljena na gornjem i donjem trouglu. Ovo skretanje hipotenuze, u jednom slučaju ka unutrašnjosti trougla a u drugom na suprotnu stranu, dovodi do prividne promene površine cele figure i pojavljivanja “misterioznog” kvadratića.

Ugao pravog trougla sa katetama 5 i 13, tj. trougla sa pravom hipotenuzom, iznosio bi $21.0375^o$ , tj. nege između uglova crvenog i zelenog trougla.

Pogledajte sličnu, ali slađu, optičku iluziju – perpetum mobila za čokoladu

Tags:matematika, slika dana, iluzija, oko

9 Comments

13.10.2013.

O životu, univerzumu i svemu ostalom
Ako ima odgovora i komentara pišite na sajtu, objavljujem sutra sa objašnjenjem 🙂

Loading...
13.10.2013.

Bojan
Hipotenuza u 1. nije prava hipotenuza, zakrivljena je za 1.245364267° stepeni, dok je u drugom potpuno prava.

Loading...
13.10.2013.

Nenad Kitanović
Na gornjoj slici hipotenuza nije prava već između crvene i žute oblasti je izlomljena i tako nije pravougli trougao i cela figura ima manju površinu od od donje. Odatle i nedostaje kvadrat. Tamno zeleni i crveni trougao nisu slični.

Loading...
13.10.2013.

Sinisa
http://m4t3m4t1k4.wordpress.com/2011/11/26/%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%B0%D0%BE-%D1%88%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0-%D1%82%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0-%D0%B8-%D1%84%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B8%D1%98%D0%B5%D0%B2/

Loading...
13.10.2013.

Nebojša Gavranović
Slazem se sa Nenadom,mislim da se taj kvadrat gubi i da ima neke veze sa hipotenuzom velikog trougla.Ipak cekamo odgovor sutra nestrpljivo!!

Loading...
13.10.2013.

Rada
cela povrsina nije trougao ni na jednoj slici. kada na gornjoj slici dopunimo crveni i zeleni trougao do kvadrata ostaje nepopunjeno 16 kvadratica, a svetlo-zelena i narandzasta figura ima 15.

Loading...
13.10.2013.

luna
jasno je da su trokuti isti, gledati razliku pravokutnika.. prvi 3×5, drugi 2×8-1

Loading...
15.10.2013.

Bojan
@Bojan
Izvinjavam se, lapsus, drugi trougao je zakrivljen za 1.2453…° stepeni

Loading...
15.10.2013.

O životu, univerzumu i svemu ostalom
U oba slučaja hipotenuza je sastavljena od dva ista, manja, trougla i nemoguće je da u jednom slučaju bude prava a u drugom ne 🙂 Hipotenuza je izlomljena u oba slučaja ali na suprotnu stranu.

Detaljnije https://www.svetnauke.org/13956-gde-je-nestao-kvadrat-13-10-2013

Loading...