Metrika i metricki prostori

Pre početka priče o Opštoj teoriji relativnosti (OTR) moramo prvo da se upoznamo sa nekim osnovnim pojmovima neophodnim za razumevanje te teorije.

Svima je iz svakodnevnog života poznato šta znači prostor a šta rastojanje. Prostor shvatamo kao neko mesto gde se događaji odigravaju a rastojanje je neka dužina između dve tačke. U prostoru možemo da postavimo i koordinatni sistem, izaberemo bilo koju tačku i kažemo “ovde je početak”. Kordinatni sistem ima tri ose koje se najčešće nazivaju x, y i z. Svima je takođe dobro poznato da se rastojanje između dve tačke određuje čuvenom Pitagorinom teoremom:

 … (1)

 gde je s – traženo rastojanje, a x, y i z “komponente” rastojanja duž osa koordinatnog sistema.

Sve je ovo jednostavno i dobro poznato iz svakodnevnog života, ali jednostavan je i prostor u kome živimo, to je samo jedan specijalan slučaj opšteg pojma prostor. Da bi mogli da govorimo o OTR pre svega moramo da dešinišemo prostor u kome se odigravaju događaji. Taj prostor je nešto širi pojam on onog prostora iz svakodnevnog života. Analogno jednačini (1) za neke porostore moguće je definisati tzv. metriku prostora. Metrika prostora je unapred određen zakon po kome se tačkama  i pridružuje skalar ds koji definiše rastojanje između njih. U opštem slučaju to se može napisati kao:

 … (2)

gde je g_ij – metrički tenzor. Treba napomenuti i to da je pri pisanju ovog izraza primenjena tzv. Ajnštajnova konvencija, prema kojoj se podrazumeva sumiranje po ponovljenim indekisma i i j (odnosno, sumiranje se vrši uvek kada se isti indeks u izrazu pojavljuje dva puta i to jednom kao gordnji a jednom kao donji). Ovaj izraz naziva se metrička forma, a prostori za koje važi nazivaju se Rimanovi prostori.

Metrički tenzor može da se napiše u matričnom obliku kao:

Ako metrika prostora ima oblik zbira kvadrata, tj.

  … (3)

takav prostor naziva se Euklidov prostor. Nama je iz svakodnevnog života poznat 3D Euklidov prostor (tri dimenzije znače da indeksi i i j uzimaju vrednosti 1, 2 i 3).

Za Euklidove prostore važi , gde je Î´_ij – Kronekerov simbol.

Prostori za koje uslov (3) nije ispunjen nazivaju se neeuklidski Rimanovi prostori.