Kristofelovi simboli

U prethodnom tekstu videli smo kako se opisuje geometrija prostora. Sledeća bitna osobina svakog prostora je nalaženje najkraćeg puta između dve tačke. Svima je poznato da je u našem realnom 3D prostoru najkraće rastojanje duž koja spaja te tačke, ali kada se promeni geometrija prostora menja se i izgled najkraćeg rastojanja.

Da bi odredili potrenju jednačinu, prvo moramo da uvedemo jedan nov pojam, tzv. Kristofelove simbole.

Ako krenemo od zakona transformacije metričkog tenzora:

   … (1)

 i diferenciramo ga po novoj koordinati, dobijamo:

  … (2)

poslednji član sa desne strane dobijen je kao:

ako postupak ponovimo i za druge dve koordinate, dobija se:

  … (3)

 Sabiranjem prve dve, a zatim oduzimanjem treće jednačine iz sistema (3) dobija se:

  … (4)

Pri računanju ovog izraza iskorišćena je činjenica da je metrički tenzor simetričan i da je dozvoljena zamena nemih indeksa.

Izraz sa leve strane predstavlja novu veličinu koja se naziva Kristofelov simbol prve vrste:

Može se uvesti i Kristofelov simbol druge vrste kao:

Treba napomenuti d aKristofelovi simboli u opštem slučaju nisu tenzori i da su simetrični u odnosu na indekse i i j.

Kristofelovi simboli zavise iskjučivo od metrike prostora i predstavljaju njegove značajne karakteristike. U slučaju Euklidovih prostora uvek postoji bar jedan sistem koordinata u kome su svi Kristofelovi simboli prve i druge vrste jednaki nuli. Ovo je jedna od bitnih razlika između Euklidovih i Rimanovih prostora (koji se najčešće koriste u Opštoj teoriji relativnosti).