Rešenje “nemoguće slagalice”

U prethodnom tekstu postavio sam jedan “mali” matematičko-logički problem. Navedeni problem u literaturi je poznat kao Nemoguća slagalica, zbog prvidnog nedostatka informacija koje omogućavaju nalaženje jedinstvenog rešenja. Problem je poznat i pod imemom Problem sume i proizvoda. Problem je prvu put objavljen 1969. godine a kasnije je objavljeno dosta popularnih tekstova i radova sa objašnjenjem i rešenjem. Može se naći u nekoliko različitih jezičkih verzija i na različitim intervalima brojeva. Često se susreću i verzije koje, zbog jezičke nepreciznosti, nemaju rešenje. Problem nije lak, ali je moguće doći do rešenja, krenimo redom – rečenicu po rečenicu.

P: Nemam ideju koji bi to bili brojevi

Ova prva, naizgled beznačajna rečenica, na pomaže da eliminišemo piše od polovine mogućih suma. Činjenica da P ne zna brojeve x i y govori nam da ti brojevi nisu istovremeno prosti. Ako bi brojevi bili prost P bi samo iz proizvoda mogao jednoznačno da odredi te brojeve jer postoji samo jedan način za faktorizaciju proizvoda.Na primer ako bi traženi brojevi bili 5 i 7, tada je njihov proizvod 35, ili brojevi . Jedini način da broj 35 ili 91 napišete kao proizvod je upravo preko navedenih parova brojeva. Kako P tvrdi da ne može da odredi brojeve ovo očigledno nije slučaj.

S: Znao sam da ti to ne možeš da znaš

Ovo rečenica, u kombinaciji sa prethodnim saznanjem, nam omogućava da iz skupa mogućih suma eliminišemo sve one koji se mogu napisati kao zbir dva prosta broja. S zna pomenutu osobinu prostih brojeva tako da nam ova rečenica potvrđuje da se suma ne može napisati kao zbir dva prosta broja. Ako bi suma bila npr. 28. Ovaj broj se, između ostalog, može napisati kao 5 + 23, tj suma prostih brojeva. Kada bi S znao sumu 28 on nikako ne bi mogao da tvrdi da P ne zna proizvod jer je P možda baš . Pošto je S siguran da P ne može proizvod da razloži na proste brojeve iz skupa mogućih suma možemo da eliminišemo sve one koje se mogu dobiti kao zbir dva prosta broja.

Prema Goldbahovoj hipotezi svi parni brojevi mogu da se napišu kao suma dva prosta broja. Ova hipoteza nije dokazana, ali provereno važi za sve brojeve manje od 100 miliona (ako ne verujete, uvek možete da probate  za prvih 100 brojeva). Takođe, ako se setimo da je 2 prost broj možemo da eliminišemo i sve neparne brojeve koji se mogu napisati kao suma prost broj + 2.

Nakon ovoga ostaje nam sledeći skup mogućih suma:

Kako je svaka suma neparan broj jasno je da jedan sabirak mora da bude paran a drugi neparan.

P: Sada znam koji su to brojevi

S: Sada i ja znam koji su to brojevi

Ovde verovatno očekujete kristalnu kuglu, ali nepotrebna je. Dalje možemo i bez nje 🙂 Napišimo za svaku od mogućih suma odgovarajuće proizvode, za svaku kombinaciju njihovih sabiraka:

Pošto je P uspeo da pronađe brojeve zaključujemo da je proizvod moguće dobiti samo od sabiraka jedne od mogućih suma. Ako iz gornjih skupova proizvoda eliminišemo sve one koji odgovara za dve ili više suma dobijamo:

Kada bi ispisali celu listu brojeva dobilibi da jedino sumi 17 odgovara samo jedan proizvod, broj 52. U slučaju da ovo nije proizvod P došli bi u situaciju da je proizvod moguće napisati bar na dva načina, preko brojeva čija suma pripada skupu mogućih. Kako je P uspešno odredio brojeve, zaključujemo da je proizvod P upravo broj 52, a traženi brojevi x i y su 4 i 13.

Na sličan način i S dolazi do istih brojeva.

Prema tome, rešenje zadatka je jedinstveno i to su brojevi 4 i 13.

Literatura:

1. Goldbach Conjecture — from Wolfram MathWorld [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
2. Goldbach’s conjecture – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
3. How to Solve the Sum and Product Puzzle | eHow.com [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
4. Impossible Puzzle – Wikipedia, the free encyclopedia [Internet]. [cited 2009 Nov 5];
5. The Impossible Problem!!!! [Internet]. [cited 2009 Oct 30];