Matematika Doba Kerala

Нобелова награда за физику 2022. године

Аутор: проф. др Мирољуб Дугић(Институт за физику, Природно-математички факултет, Универзитет у Крагујевцу)Нобелову награду за физику за 2022. годину поделила су тројица експерименталних физичара за област заснивања квантне механике, Ален Аспе ...

Istorija matematike Indije

Kerala je mesto u južnij indiji u kome je Madhava iz Sangamargrame oko 1300 godine osnovao školu astronimije. Škola je imala još 6 bitnih sledbenika koji iza sebe ostavili velika otkrića kako iz astronomije tako i iz matematike, jer su proučavajući astronimiju razvili zavidan matematički aparat.Najbitnija matematička dostignuća su u razvoju trigonometrijskih funkcija i matematičkoj analizi. Delo u kome su ova dostignuća prikazana čak i sa dokazima što je neobično za to vreme je delo indijskog astronoma Jestadeve koje se zove Juktibasa (racionalni jezik matematike).

U prvom delu se prikazuju matematička analiza (prvi rad ikada koji se time bavi), algebra, aritmetika, razlomci, logika a u drugom astronomija.

Na poćetku dela su dati dokazi pitagorine teoreme obima kruga kao i formule za arkus tanges ugla koja glasi :

$r\Theta = \frac {r \sin\Theta} {\cos\Theta} - \frac {1} {3}r\frac {(\sin\Theta)^3} {(\cos\Theta)^3} + \frac {1} {5}r\frac {(\sin\Theta)^5} {(\cos\Theta)^5} - \frac {1} {7}r\frac {(\sin\Theta)^7} {(\cos\Theta)^7}+\dots$

odnosno:

$\Theta = \tan\Theta - \frac {1} {3} \tan^3\Theta + \frac {1} {5} \tan^5\Theta - \dots$

Takođe daje se i beskonačni niz za vrednost π:

$\frac {\pi} {4} = 1 - \frac {1} {3} + \frac {1} {5} - \frac {1} {7} + \dots + \frac {(-1)^n} {2n+1} + \dots$

Kao i transformacija ovog niza:

$\pi = \sqrt{12} \left(1 - \frac {1} {3\cdot3} + \frac {1} {5\cdot3^2} - \frac {1} {7\cdot3^3} + \dots\right)$

A daju se i formule za same trigonometrijske funkcije:

$\sin x = x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^5} {5!} + \dots$

U svim ovim formulama primenjivani su njihovi principi koji u stvari predstavljaju današnju osnovu analize, konkretnije osnovni oblik tajlerovog reda , limesa, izvoda funkcije kao i ideja da je površina ispod zakrivljene linije njen integral. Primeri njihove matematičke indukcije i znanja nizova su formule beskonačnih nizova:

$\frac {1} {1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

$1^p + 2^p + \dots + n^p \approx \frac {n^{p+1}} {p+1}$

Oni i razvijaju nasleđe svojih velikih predhodnika, pa na primer za interpolaciju polinoma beskonačne sume se dobija:

$\lim_{\alpha\to 0} = \frac {jya (x + \alpha) - jya x} {\alpha} = \frac {koj x} {R}$

$\lim_{\alpha\to 0} = \frac {koj (x + \alpha) - koj x} {\alpha} = \frac {-jya x} {R}$

Mada oni nisu baš poznavali pojam limesa razumeli su da razlomak sa leve strane može da bude blizak onom sa desne onoliko koliko se želi ako $\alpha$ teži 0. Jyesthadeva je oko 1500. godine ovo prvi dokazao koristeći izvod a zanimljivo je da se oni koriste i pre njega.

Na slici iznad PX je arc dužine x a PT je $\alpha$ , veličina kojom se arc dužine povećava. Kvantitet $jya(x + \alpha) - jya x$ je k veličina koju nača funkcija menjaoznačićemo je posebnom notacijom.